Qu'est-ce que le nombre de Reynolds ?

Le nombre de Reynolds (Re) d'un fluide en écoulement est une grandeur sans dimension que les ingénieurs utilisent parfois pour contribuer à prédire les modèles d'écoulement dans différentes situations. Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité. Ce rapport indique si le mouvement d'un liquide ou d'un gaz suit une ligne de courant moyenne (écoulement laminaire) ou s'il existe des fluctuations instables autour de cette ligne de courant moyenne (écoulement turbulent).

Le comportement chaotique du fluide dans un écoulement turbulent est observé lorsque la résistance au changement de vitesse (les forces d'inertie) dépasse les forces qui s'opposent au mouvement relatif entre les différentes couches du fluide et les limites solides, appelées forces de viscosité.

Un nombre de Reynolds élevé témoigne d'un écoulement dominé par les forces d'inertie, s'apparentant à un écoulement turbulent. À l'inverse, un nombre de Reynolds faible témoigne d'un écoulement dominé par les forces de viscosité, s'apparentant à un écoulement laminaire fluide ou en feuille.

D'un point de vue pratique, le nombre de Reynolds est, en mécanique des fluides, une grandeur sans dimension fondamentale qui réduit efficacement le nombre de variables nécessaires et permet d'établir des corrélations significatives entre les phénomènes physiques dans des systèmes évolutifs. Les ingénieurs et les scientifiques peuvent utiliser une valeur calculée du nombre de Reynolds pour prédire si et où un champ d'écoulement passera d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent, afin de déterminer quelles équations utiliser lors de la simulation de différents types d'écoulement et de comparer les champs d'écoulement entre différentes applications ou échelles.

Qu'il s'agisse de concevoir un profil aérodynamique ou de modéliser le comportement complexe des fluides dans les systèmes industriels, les spécialistes de la dynamique des fluides peuvent commencer par calculer le nombre de Reynolds pour les situations d'écoulement qu'ils étudient.

Le concept permettant de caractériser le moment auquel un écoulement turbulent pourrait se développer en fonction du rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité a été introduit par George Stokes en 1851, dans les travaux qui ont conduit à l'élaboration de l'équation de Navier-Stokes. Cependant, ce n'est que quand Osborne Reynolds a commencé à étudier la formation des écoulements turbulents dans les conduites qu'une application pratique de ce concept a vu le jour. En 1883, il a publié un article intitulé « Étude expérimentale des conditions qui déterminent si le mouvement de l'eau sera rectiligne ou sinueux et de la loi de résistance dans des canaux parallèles ».

Dans le cadre de ses expériences, il a introduit un filet de colorant au centre d'un tube en verre transparent contenant de l'eau. Reynolds a utilisé une vanne de régulation pour faire varier le débit. Lorsque la vitesse était faible, le colorant restait concentré au centre. Cependant, lorsque la vitesse augmentait, la couche de colorant se dispersait et se répandait dans l'eau. Son article a défini l'endroit où la diffusion a commencé comme étant le point de transition.

Schéma de l'appareil d'essai utilisé par Osborne Reynolds, tiré de son article de 1883

En analysant les données, Reynolds a dérivé un paramètre sans dimension permettant de prédire la transition d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent en fonction de la densité du fluide, du diamètre du tuyau, de la vitesse d'écoulement et du changement de viscosité du fluide. Reynolds n'a pas donné son nom à ce nombre sans dimension. Cela s'est produit en 1908, quand Arnold Sommerfeld a utilisé cette valeur dans un article et l'a baptisée du nom de Reynolds.

L'équation de base du nombre de Reynolds est le rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité. Les ingénieurs ont développé plusieurs formes différentes en fonction de l'application souhaitée. Chaque application présente une échelle de longueur caractéristique qui définit une distance, comme le diamètre ou la longueur, et une vitesse caractéristique qui représente le débit en termes de vitesse d'écoulement, de débit massique ou de débit volumique.

Voici une liste des formules les plus couramment utilisées pour calculer le nombre de Reynolds :

$$R_e = \frac{Force d'inertie}{Force de viscosité} $$

$$R_e (viscosité dynamique) = \frac{\rho uD_h}{\mu} $$

$$R_e (viscosité cinématique) = \frac{uD_h}{\nu} = $$

$$ R_e (débit volumétrique)= \frac{\rho QD_h}{\mu A} $$

$$ R_e (débit massique) = \frac{WD_h}{\mu A} $$

$$ R_e (profil aérodynamique) = \frac{VL_c}{\nu}$$

$$ R_e (plaque ~ plane) = \frac{Vx}{\nu}$$

Où (avec les unités MKS) :

Propriétés du fluide

Vitesse caractéristique

Échelle de longueur caractéristique

Toute personne impliquée dans l'étude ou l'utilisation de la dynamique des fluides souhaite comprendre les modèles d'écoulement dans le système avec lequel elle travaille. On recherche parfois un écoulement laminaire, et parfois un écoulement turbulent. Il est donc essentiel de comprendre les conditions d'écoulement dans lesquelles le mouvement du fluide devient turbulent.

Dans le cas d'un écoulement dans un tuyau circulaire dont le diamètre est la longueur caractéristique, l'écoulement laminaire se produit lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à 2 300 et l'écoulement turbulent se développe lorsqu'il est supérieur à 2 900. On constate ici qu'un nombre de Reynolds faible indique que les forces de viscosité maintiennent l'écoulement stable et le long des lignes de courant. Cette valeur inférieure, à savoir 2 300 pour les tuyaux, est appelée nombre de Reynolds critique car elle indique le point de transition entre l'écoulement laminaire et l'écoulement turbulent.

Dans le cas d'un écoulement sur une plaque plane, la longueur caractéristique correspond à la distance mesurée à partir du bord amont (ou d'attaque) de la plaque. La vitesse correspond à la vitesse du flux libre bien en dehors de la couche limite. Avec cette définition, le nombre de Reynolds critique à partir duquel l'écoulement devient turbulent pour une plaque plane est généralement de 5 x 10⁵.

Par le passé, les spécialistes de la dynamique des fluides déterminaient les valeurs utilisées pour le nombre de Reynolds critique, qui indique un écoulement turbulent entièrement développé, par le biais d'expériences menées pour chaque application en fonction d'un type de fluide et d'une topologie géométrique donnés. Ils utilisaient ensuite ces valeurs pour prédire où la turbulence se produirait et apporter des modifications afin de favoriser ou d'empêcher ce type d'écoulement. De nos jours, les ingénieurs qui recourent à la dynamique des fluides numérique (CFD) utilisent parfois le nombre de Reynolds pour décider quels modèles de turbulence employer et où les appliquer.

Erreurs courantes liées à l'utilisation du nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds est très sensible au contexte et utilise des représentations simplifiées de l'écoulement. Voici une liste des erreurs les plus courantes commises par les ingénieurs lors de l'utilisation du nombre de Reynolds :

• Ne pas utiliser la longueur caractéristique, la vitesse caractéristique ou l'emplacement de mesure de la vitesse appropriés.
• Utiliser un calculateur de nombre de Reynolds sur une géométrie complexe où le nombre de Reynolds approprié varie en réalité considérablement.
• Négliger la zone de transition, c'est-à-dire la plage du nombre de Reynolds où l'écoulement commence à effectuer la transition et où il devient entièrement turbulent.
• Se fier uniquement au nombre de Reynolds pour caractériser un régime d'écoulement, en particulier pour la mise à l'échelle. La mise à l'échelle concerne notamment les écoulements supersoniques, où le nombre de Mach joue un rôle crucial, ou lorsque la gravité est une force motrice et que le nombre de Froude devient important.
• Utiliser le nombre de Reynolds pour un fluide visqueux non newtonien dont la viscosité varie en fonction du taux de cisaillement, comme c'est le cas pour les polymères et le sang.
• Utiliser le nombre de Reynolds dans des situations multiphasiques où des liquides, des gaz ou des solides se mélangent dans l'écoulement.
• Ignorer les facteurs externes qui modifient la valeur du nombre de Reynolds critique, notamment les conditions en amont, la rugosité de la surface, les perturbations de l'écoulement et les variations de densité causées par les fluctuations de température.

Le rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité représenté par le nombre de Reynolds a d'autres applications que les ingénieurs utilisent pour calculer différentes valeurs et piloter leurs conceptions. Les plus courantes sont les suivantes :

• Epaisseur de la couche limite : La formule de l'épaisseur de la couche limite (utilise un nombre de Reynolds basé sur la distance x par rapport à la fonderie).
• Génie chimique : Les ingénieurs chimistes utilisent le nombre de Reynolds pour caractériser les réactions chimiques qui varient en fonction de la turbulence, en particulier dans les situations où les couches limites jouent un rôle important ou lorsque le rapport entre la vitesse et les forces d'inertie influence les vitesses de réaction.
• Coefficient de traînée : Le coefficient de traînée caractérise la résistance qu'un objet subit lorsqu'il se déplace dans un fluide ; il est fonction du nombre de Reynolds. Une part importante de l'ingénierie aérodynamique et hydrodynamique consiste à comprendre et à gérer le coefficient de traînée d'un système.
• Séparation de l'écoulement : La séparation de l'écoulement, où une pression défavorable provoque la déviation de l'écoulement par rapport à la surface, est influencée par la turbulence à proximité de la couche limite. Pour les nombres de Reynolds élevés, l'énergie de l'écoulement turbulent contrebalance les forces à l'origine de la séparation. Le rapport entre l'écoulement visqueux et l'écoulement d'inertie, soit le nombre de Reynolds, détermine également la capacité d'un écoulement à rester en contact avec une surface non plane.
• Coefficient de frottement : La quantité d'énergie perdue due au frottement lorsqu'un fluide s'écoule contre un objet est quantifiée par le coefficient de frottement, qui est directement lié au nombre de Reynolds. Dans un écoulement laminaire à faible nombre de Reynolds, le coefficient de frottement ne dépend que du nombre de Reynolds. Pour les nombres de Reynolds plus élevés, où la turbulence se développe, la rugosité de la surface joue également un rôle.
• Transfert de chaleur : Les ingénieurs en mécanique qui mènent des études sur le transfert de chaleur ne doivent pas seulement savoir si un écoulement est turbulent ou laminaire. Ils doivent également connaître une valeur clé du transfert de chaleur par convection : le nombre de Nusselt (Nu), dont la formule intègre le nombre de Reynolds.
• Mise à l'échelle : Parmi les découvertes les plus utiles issues des expériences menées par Reynolds, on peut citer la manière dont les ingénieurs peuvent utiliser la similitude dynamique pour agrandir ou réduire la taille des produits en vue des essais en soufflerie. Si la longueur caractéristique change, un débit différent est nécessaire pour maintenir des nombres de Reynolds similaires.

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Ressources connexes