몬테카를로 시뮬레이션이란?

몬테카를로 시뮬레이션은 입력이 무작위로 변할 때 프로세스의 확률적 결과를 예측하는 데 사용되는 알고리즘 세트입니다. 몬테카를로 방법, 몬테카를로 해석 또는 몬테카를로 실험이라고도 하는 알고리즘은 확률적 시뮬레이션의 한 유형입니다.

몬테카를로 시뮬레이션은 가능한 결과의 분포를 이해하기 위해 각각 다른 무작위 입력 세트를 사용하여 다수의 시험을 실행합니다. 그런 다음 각 시험의 시뮬레이션 결과를 해석하여 불확실한 변수의 확률 분포를 확인합니다.

몬테카를로 시뮬레이션이라는 개념은 맨해튼 프로젝트와 후속 핵무기 개발 프로그램에서 등장했습니다. 1946년 Stanislaw Ulam과 John Von Neumann은 중성자가 원자핵과 충돌할 때 방출되는 에너지의 확률 분포를 확인하고자 했습니다. 한 동료가 "몬테카를로"라는 이름을 제안했는데, 그의 삼촌이 모나코의 몬테카를로 카지노에서 도박을 했고, 입력 변수의 무작위 선택이 룰렛의 무작위성을 연상시켰기 때문입니다.

대부분의 프로세스는 입력 집합이 주어졌을 때 출력이 알려져 있기 때문에 결정론적입니다. 예를 들어, 알려진 온도의 물에 알려진 양의 열을 가하면 온도가 얼마나 상승하는지 계산할 수 있습니다. 그러나 입력이 무작위이고 프로세스 자체가 복잡한 보다 복잡한 시스템에서는 결과를 예측하기가 어렵습니다. 엔지니어, 과학자, 수학자 및 경제학자는 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 이러한 시스템의 결과 예측에 무작위성을 반영합니다. 

이 강력한 시뮬레이션 툴을 이해하는 좋은 방법은 간단한 예를 살펴보는 것입니다. 동전 네 개를 던졌을 때 앞면이 0번, 1번, 2번, 3번, 또는 4번 나올 확률을 예측하는 것은 고전적인 문제입니다.

입력 변수는 동전의 개수이고, 우리가 예측하고자 하는 출력 변수는 앞면이 나올 각 조합의 확률입니다. 간단한 엑셀 몬테카를로 시뮬레이션은 난수 생성 함수인 rand()를 사용하여 앞면 또는 뒷면을 예측합니다. 난수가 0.5보다 작으면 해당 셀을 1(앞면)로, 0.5보다 크면 0(뒷면)으로 설정합니다. 이 모델은 동전 하나당 한 열, 시험 하나당 한 행, 그리고 앞면이 나온 동전의 개수를 계산하는 합계 열로 구성된 표입니다. 확률을 계산하기 위해 모델은 countif() 함수를 사용하여 각 확률이 발생한 횟수를 세고, 이를 시험 횟수로 나눕니다. 

몬테카를로 시뮬레이션은 알고리즘을 사용하여 대규모 무작위 입력 집합에서 샘플링하는 방식으로 문제를 해석합니다. 이 툴을 사용하는 사람이면 누구나 시뮬레이션할 프로세스를 정의하고, 입력과 출력을 식별하고, 시뮬레이션을 실행하고, 결과를 검토해야 합니다.

구체적인 단계는 다음과 같습니다.

1. 프로세스 이해

모델링할 프로세스를 정의하여 시뮬레이션을 시작합니다. 이는 물리 문제, 주식 시장, 특정 지역의 날씨 또는 생물학적 과정일 수 있습니다.

2. 독립 변수 및 해당 분포 정의

다음 단계는 모든 독립 변수를 수집하는 것입니다. 이는 변수가 나타낼 수 있는 프로세스의 특성입니다. 또한 이러한 특성이 변하면 프로세스의 동작도 변해야 합니다. 독립 변수는 입력 변수, 입력 값 또는 단순히 입력이라고도 합니다.

이 단계에서 해석자는 각 독립 변수의 최소값과 최대값, 그리고 해당 값 범위 내의 분포 또는 변동성을 정의해야 합니다. 분포에는 여러 가지 유형이 있습니다. 가장 일반적인 분포는 다음과 같습니다.

• 균일 분포: 지정된 범위 내의 모든 값은 다른 값과 마찬가지로 짝수 또는 균일 분포를 형성합니다.
• 정규 분포: 자연과 재무에서 값은 중심 평균을 중심으로 모이는 경향이 있으며, 평균값에서 멀어질수록 특정 값이 나타날 확률이 낮아지는 것이 일반적인데, 이를 정규 분포라고 합니다. 많은 사람들이 그러한 분포를 종 모양 곡선이라고 부르는데, 그래프로 나타냈을 때 종처럼 보이기 때문입니다.
• 삼각형 분포: 프로젝트 관리와 같이 실제 데이터가 제한적일 경우, 엔지니어는 종 모양 곡선 대신 최소값, 가장 가능성이 높은 값, 최대값을 사용하여 삼각형 분포를 만듭니다. 가장 가능성이 높은 값이 평균이 아닐 수도 있습니다.
• 이항 분포: 프로세스의 입력 값이 두 가지 값(0 또는 1, 예 또는 아니요, 참 또는 거짓, 앞면 또는 뒷면 등)만 가질 수 있는 경우 해석자는 이항 분포를 사용합니다.
• 푸아송 분포: 푸아송 분포는 두 가지 가능한 값을 갖는 입력 파라미터를 나타냅니다. 하지만 이는 시간에 따른 특정 값의 빈도를 고려합니다. 매장 방문 횟수가 좋은 예입니다.
• 경험적 분포: 복잡한 시스템에서는 특정 입력 변수의 분포가 일반적인 특성을 따르지 않을 수 있습니다. 하지만 분포를 나타낼 수 있을 만큼 충분한 기록 데이터가 있는 경우에는 경험적 분포 또는 사용자 지정 분포를 사용할 수 있습니다.

3. 종속 변수 정의

세 번째 단계는 프로세스의 종속 변수를 정의하는 것입니다. 이는 입력 변수가 변경될 때 변경되는 측정 가능한 특성입니다. 종속 변수도 사람에게 중요한 지표여야 합니다. 종속 변수를 최소화하거나 최대화하는 것이 최적화 연구의 일반적인 목표입니다. 또는 팀이 예상 결과를 의사 결정에 활용하기도 합니다. 종속 변수는 출력 변수, 출력 값 또는 결과 값이라고도 합니다.

4. 프로세스 시뮬레이션 생성

가장 중요한 단계는 프로세스를 컴퓨터 알고리즘으로 정확하게 표현하는 것입니다. 이는 간단한 방정식, 조회 테이블 또는 수치 모델과 같은 더 복잡한 표현일 수 있습니다. 시뮬레이션은 가능한 한 빠르고 효율적으로 실행되어야 합니다.

5. 무작위 입력 변수 세트를 사용하여 시뮬레이션을 반복적으로 실행

몬테카를로 시뮬레이션 자체는 시뮬레이션 모델을 사용하여 수많은 시행착오를 거치는 것입니다. 이 알고리즘은 각 입력의 범위와 분포를 이용하여 각 입력 변수에 대한 난수를 생성합니다. 그런 다음 툴이 각 시험에서 얻은 다양한 결과를 기록합니다.

연구 중인 프로세스에 따라 출력 값의 정확한 분포를 얻는 데 필요한 시뮬레이션 수가 결정됩니다. 일부 문제는 1,000~10,000번의 실행이 필요합니다. 그러나 특정 프로세스는 100,000회 이상의 시험이 필요할 수 있습니다.

6. 출력 변수 해석

모든 출력 값이 수집된 후 다음 단계는 통계적 방법을 적용하여 각 결과의 확률을 추정하는 것입니다. 출력 변수에 정규 분포가 있는 경우 평균 및 표준 편차 값은 확률 분포를 나타냅니다. 간단한 경우, 특정 값이 나올 확률은 해당 결과가 나온 횟수를 시행 횟수로 나눈 값입니다.

더 복잡한 시스템과 응용 분야, 특히 머신러닝 모델 학습의 경우 해석자는 베이지안 해석을 사용합니다.

몬테카를로 시뮬레이션은 다양한 산업 분야에서 확률 모델링에 활용됩니다. 가장 일반적인 응용 분야를 몇 가지만 살펴보면 다음과 같습니다.

엔지니어링

엔지니어는 과거 데이터가 없거나 단순하고 결정적인 모델이 없는 복잡한 시스템을 설계해야 하는 경우가 많기 때문에 여러 응용 분야에서 몬테카를로 방법을 사용합니다. 또한 설계 외에 프로젝트 관리, 특히 프로젝트 계획 수립을 위한 민감도 해석 및 위험 관리에도 이 방법을 활용합니다. 가장 일반적인 용도는 복잡한 시스템의 수치 시뮬레이션에서 제품의 통계적 특성과 입력 및 출력 변수 간의 관계를 이해하는 것입니다. 가장 좋은 예 중 하나는 중성자 수송인데, 엔지니어들은 중성자가 원자로의 구조 구성 요소를 통과하고 상호 작용하는 방식을 계산합니다.

석유, 가스 및 광업

지구에서 천연 자원을 추출하려면 수많은 불확실성 속에서 프로젝트의 경제적 타당성을 예측해야 합니다. 업계에서는 몬테카를로 시뮬레이션을 활용하여 저수지 규모, 다공성, 추출하는 자원의 품질, 심지어 향후 해당 상품의 가격까지 예측합니다. 가장 일반적인 용도 중 하나는 다양한 암석층의 구성, 다공성 및 두께에 대한 확률적 분포와 각 조합의 석유 분포를 사용하여 잠재적 유전의 지질 구조를 모델링하는 것입니다. 그런 다음 몬테카를로 시뮬레이션을 실행하여 잠재적인 석유 농도 분포를 얻습니다. 특정 위치에 있는 석유의 정확한 양을 예측하는 대신, 석유의 확률적 분포를 계산합니다.

금융 시장

세계에서 금융 시장보다 더 복잡하고 무작위적인 분야는 거의 없습니다. 경제학자와 재무 분석가는 몬테카를로 방법을 사용하여 주가, 변동성, 이자율, 소비자 가격 및 기타 주요 경제 변수를 예측합니다. 원자재 트레이더는 몬테카를로 방법을 사용하여 자신이 보유한 원자재 가격의 장기적인 변동성에 대한 스트레스 테스트를 수행합니다. 이들은 시장에 영향을 미치는 수십 가지 변화에 대한 가격의 민감도를 모델링한 다음, 시간에 따른 이벤트를 무작위로 선택하여 각 날짜별로 가능한 가격 분포를 얻습니다. 그 결과 포트폴리오에 대한 위험 가치(VAR)가 생성됩니다.

물리, 화학 및 생명공학

몬테카를로 방법은 원래 핵물리학을 위해 개발되었으며, 원자로, 방사선 치료 및 검출기와 같은 시스템에서 방사선을 모델링하는 데 여전히 중요한 역할을 합니다. 화학자들은 화학 반응을 모델링하거나 새로운 분자를 개발할 때, 자신이 연구하는 메커니즘을 해석적으로 계산하는 것이 불가능하기 때문에 몬테카를로 방법을 계산화학 및 통계역학의 기초로 사용합니다. 생명공학 분야의 연구자들도 마찬가지로 이 방법을 사용하여 임상시험 결과를 해석하고, 환자의 반응률을 평가하며, 신약을 개발합니다.

몬테카를로 방법이 신약 개발에 사용되는 경우 일반적으로 분자 도킹 시뮬레이션 용도로 사용됩니다. 화학자들은 단백질(자물쇠)에 결합하는 작은 분자(열쇠)를 찾고자 합니다. 분자가 단백질에 결합하면 원치 않는 화학 반응을 억제할 수 있습니다. 작은 분자의 모든 모양과 회전을 모델링하는 대신, 두 가지 모두를 무작위로 분포시켜 연구원들이 집중할 수 있는 가장 낮은 에너지 조합을 찾아냅니다. 

몬테카를로 시뮬레이션은 여러 가지 장점 때문에 다양한 분야에서 활용됩니다. 하지만 이 접근 방식에도 몇 가지 단점이 있어서 실제 문제에 적용하기 전에 고려해 보아야 합니다.

다음은 가장 일반적인 장단점의 목록입니다.

장점

• 복잡한 문제를 모델링합니다.
• 확률적인 결과를 생성합니다.
• 입력 변수에 대한 민감도 정보를 제공하여 해당 변수의 변경이 출력 변수 값에 미치는 영향을 나타냅니다.
• 입력 분포를 캡처합니다.

단점:

• 입력 및 출력 변수가 많고 계산적으로 복잡한 수치 모델을 사용하는 복잡한 시스템의 경우 상당한 계산 리소스가 필요합니다.
• 입력 데이터 품질에 매우 민감하게 반응합니다(GIGO(Garbage In, Garbage Out)).
• 많은 통계 정보를 생성하기 때문에 정확한 것처럼 착각하게 만듭니다. 하지만 계산된 분포는 입력 파라미터와 모델의 정확도에 따라 결과가 달라집니다.
• 정확한 모델을 만들고 검증하는 데 시간이 많이 소요되므로 노동 집약적인 프로세스입니다.

몬테카를로 시뮬레이션을 수행하는 데 사용되는 툴에는 일반적으로 수학 소프트웨어, 사용자 지정 프로그램 및 시뮬레이션 소프트웨어라는 세 가지 유형이 있습니다.

아래에 설명된 대로 각 툴은 고유한 장점과 과제가 있습니다.

수학 소프트웨어

Microsoft Excel, Google Sheets, Mathematica 및 MATLAB과 같은 소프트웨어 툴은 계산을 수행하고 입력 및 출력 변수의 통계 분포를 처리하는 성능이 우수합니다. 스프레드시트 툴에는 전용 몬테카를로 기능이 없으므로 사용자는 시뮬레이션을 처음부터 구축해야 합니다. 수학 관련 툴, 특히 강력한 통계 모듈을 갖춘 툴을 사용하면 임의 변수를 더 쉽게 생성하고, 시험 실행을 자동화하고, 결과에 대한 확률적 해석을 수행할 수 있습니다. 이러한 종류의 툴이 안고 있는 가장 큰 과제는 프로세스의 정확한 모델을 만드는 것입니다.

사용자 지정 프로그램

사용자 지정 프로그램은 프로그래밍 언어의 서브루틴이 프로세스를 나타낼 수 있는 경우에 유용합니다. 대부분의 언어에는 확률 변수에 대한 입력 분포를 생성하고 결과로 생성되는 종속 변수를 처리하는 등의 작업을 지원하는 라이브러리가 존재합니다. 이 접근 방식의 단점은 현재 연구 중인 프로세스에 대한 모델을 포함하여 각 애플리케이션에 대한 사용자 지정 프로그램을 만들어야 한다는 것입니다. Python과 같은 프로그래밍 플랫폼을 사용하면 이러한 작업이 좀 더 수월해지지만 시뮬레이션을 설정하고 실행하는 데에는 여전히 시간이 걸릴 수 있습니다.

시뮬레이션 소프트웨어

가장 강력한 툴 세트이자 실제 응용 분야에서 가장 흔히 사용되는 것은 시뮬레이션 소프트웨어입니다. 이러한 프로그램은 연구 중인 프로세스를 모델링하며, 몬테카를로 설정을 단순화하고 시험 실행을 자동화하는 기본 제공 툴을 포함하는 경우가 많습니다.

Ansys Optics 제품군이 바로 좋은 예입니다. 여기에는 광학 시스템의 몬테카를로 시뮬레이션을 위한 Ansys Zemax OpticStudio 광학 시스템 설계 및 해석 소프트웨어와 포토닉스에서 발견되는 높은 확률적 거동을 위한 Ansys Lumerical 소프트웨어가 포함됩니다. 두 툴 모두 사용자가 몬테카를로 시뮬레이션을 지원하는 파라메트릭 모델을 구축하는 데 도움이 됩니다. 

대표적인 Ansys 시뮬레이션 소프트웨어 툴도 마찬가지입니다. 여기에는 Ansys Mechanical 구조 유한 요소 해석 소프트웨어, Ansys LS-DYNA/LS-Opt 비선형 동역학 구조 시뮬레이션 소프트웨어, Ansys Fluent 유체 시뮬레이션 소프트웨어,  Ansys Maxwell 고급 전자기장 솔버 및 Ansys HFSS 고주파 전자기 시뮬레이션 소프트웨어가 포함됩니다. 이러한 각 툴은 물리 모델의 특정 하위 집합을 시뮬레이션하는 데 중점을 둡니다. 그럼에도 불구하고 모두 입력 및 출력 변수의 파라미터화를 지원하고, 몬테카를로 시뮬레이션 툴을 제공하며, 통계적 후처리를 지원합니다.

특정 시뮬레이션 플랫폼에 내장된 툴로 부족한 경우 사용자는 이를 Ansys optiSLang 프로세스 통합 및 설계 최적화 소프트웨어와 같은 최적화 툴과 통합할 수 있습니다. 이 범용 최적화 및 프로세스 통합 툴은 몬테카를로 시뮬레이션 실행 시 고유한 강점을 발휘하며 Ansys, part of Synopsys 및 비 Ansys 시뮬레이션 툴과 통합되어 단일 자동화 플랫폼을 제공합니다. 또한 강력한 Python 인터페이스를 활용하여 프로그램을 다른 소프트웨어 또는 Python 루틴에 연결합니다. 

Ansys Zemax OpticStudio 광학 시스템 설계 및 해석 소프트웨어를 위한 몬테카를로 공차 인터페이스

인공지능(AI)

연구원과 수학자들은 한동안 다양한 AI 애플리케이션에 몬테카를로 시뮬레이션을 사용해 왔습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

• 학습 및 최적화를 사용한 머신 러닝, 베이지안 해석 및 신뢰도 평가
• 대규모 의사 결정을 위한 몬테카를로 트리 검색
• 강화 학습
• 신경망 학습
• 대규모 언어 모델(LLM) 개선

Ansys SimAI 클라우드 기반 시뮬레이션 AI 플랫폼은 몬테카를로 시뮬레이션을 활용하여 모델 학습 데이터를 생성하는 최신 AI 툴의 강력한 사례입니다.

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